Question

如圖，在三棱錐S—ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M為AB的中點.

(1)證明AC⊥SB；

(2)求二面角S-CM-A的大小；

(3)求點B到平面SCM的距離.

Answer 1

解析：如圖，

(1)取AC中點D，連結DS、DB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥DS且AC⊥DB.

∴AC⊥平面SDB.又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

(2)∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

過D作DE⊥CM于E，連結SE，則SE⊥CM，

∴∠SED為二面角S—CM—A的平面角.

由已知有DEAM，∴DE=1.

又SA=SC=，AC=4，∴SD=2.

在Rt△SDE中，tan∠SED=,

∴二面角S—CM—A的大小為arctan2.

(3)在Rt△SDE中，，CM是邊長為4的正△ABC的中線，

∴CM=.∴S_△SCM=CM·SE=.

設點B到平面SCM的距離為h，

由V_B—SCM=V_S—CMB，SD⊥平面ABC，

得S_△SCM·h=S_△CMB·SD，∴，

即點B到平面SCM的距離為.