Question

已知a，b，c∈R，且a＜b＜c，函數f（x）=ax²+2bx+c滿足f（1）=0，f（t）=-a，（t∈R且t≠1）
（Ⅰ）求證：a＜0，c＞0；
（Ⅱ） 求

b

a

的取值范圍．

Answer 1

分析：函數f（x）=ax²+bx+c滿足f（1）=0，則a+2b+c=0．
（1）根據a＜b＜c，得到4a＜a+2b+c=0＜4c，故有a＜0，c＞0
（2）由（1）知，c=-a-2b，則-

1

3

＜

b

a

＜1，
又由f（t）=-a，得到△=4b²+8ab≥0，進而判斷出

b

a

的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）證：∵f（x）=ax²+2bx+c
∴f（1）=a+2b+c=0
又a＜b＜c∴4a＜a+2b+c＜4c
即4a＜0＜4c∴a＜0，c＞0
（Ⅱ） 解：由（1）得：c=-a-2b代入a＜b＜c
結合a＜0知：-

1

3

＜

b

a

＜1…（2）
將c=-a-2b代入at²+2bt+c=-a得at²+2bt-2b=0，
即方程ax²+2bx-2b=0有實根，
故△=4b2+8ab≥0∴(

b

a

)2+2(

b

a

)≥0 ∴

b

a

≤-2或

b

a

≥0…（3）
聯立（2）（3）知0≤

b

a

＜1
所以，所求

b

a

的取值范圍是[0，1）

點評：本題考查二次函數的性質和應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化．