Question

【題目】已知函數f（x）=|ax﹣1|
（1）若f（x）≤2的解集為[﹣3，1]，求實數a的值；
（2）若a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：顯然a≠0，當a＞0時，解集為：[ ， ]，﹣ ， ，無解；

當a＜0時，解集為：[ ，﹣ ]，令﹣ =1， ，解得a=﹣1，

綜上a=﹣1．

（2）解：a=1時，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|2x|﹣|x﹣2|= ，

由此可知，h（x）在（﹣∞，0]，上是單調遞減，

在[0，+∞）上單調遞增，則x=0時，h（x）取得最小值﹣2，

由題意可知﹣2≤3﹣2m，則實數m的取值范圍是（﹣∞， ]．

【解析】（1）利用絕對值不等式的解集，列出方程求解即可．（2）利用a=1，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤3﹣2m成立，化簡函數的解析式，通過函數的最小值以及函數的單調性，列出不等式，求解即可．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．