Question

【題目】設數列 的前n項和為Sn ，且滿足：
① ；② ，其中 且 ．
（1）求p的值；
（2）數列 能否是等比數列？請說明理由；
（3）求證：當r 2時，數列 是等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）n 1時， ，

因為 ，所以 ，

又 ，所以p 1．

（2）

不是等比數列．理由如下：

假設 是等比數列，公比為q，

當n 2時， ，即 ，

所以 （i）

當n 3時， ，即 ，

所以 ， （ii）

由（i）（ii）得q 1，與 矛盾，所以假設不成立．

故 不是等比數列．

（3）

當r 2時，易知 ．

由 ，得

時， ， ①

，②

②-①得， ，

即 ，

，

即

……

，

所以

令 d，則 ．

所以 .

又 時，也適合上式，

所以 ．

所以 ．

所以當r 2時，數列 是等差數列．

【解析】（1.）將n=1代入②得 分析可知只能是 =0，可算出p
（2.）假設是等比數列，將n=2、3分別代入得到q，判斷是否與已知條件矛盾.
（3.）當n=2時，用前 項和減去 項和可得 之間關系，分析判斷可證 是等差數列.
【考點精析】利用數列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．