Question

如圖. 直三棱柱ABC —A₁B₁C₁中，A₁B₁= A₁C₁,點D、E分別是棱BC，CC₁上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F為B₁C₁的中點．
求證：（1）平面ADE⊥平面BCC₁B₁
（2）直線A₁F∥平面ADE．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析．

試題分析：（1）由面面垂直的判定定理可知：要證兩個平面互相垂直，只須證明其中一個平面內的一條直線與另一個平面垂直即可；觀察圖形及已知條件可知：只須證平面ADE內的直線AD與平面BCC₁B₁垂直即可;而由已知有: AD⊥DE,又在直三棱柱中易知CC₁⊥面ABC,而AD平面ABC， CC₁⊥AD,從而有AD⊥面B CC₁ B₁,所以有平面ADE⊥平面BCC₁B₁；（2）由線面平行的判定定理可知：要證線面平行，只須證明直線與平面內的某一條直線平行即可；不難發現只須證明A₁F∥AD，由（1）知AD⊥面B CC₁ B₁，故只須證明A₁F⊥平面BCC₁B₁，這一點很容易獲得．
試題解析：（1）ABC—A₁B₁C₁是直三棱柱，CC₁⊥面ABC，
又AD平面ABC， CC₁⊥AD
又AD⊥DE，CC₁，DE平面B CC₁B₁，CC₁∩DE=E
AD⊥面B CC₁ B₁又AD面ADE
平面ADE⊥平面BCC₁B₁                 6分
（2） A₁B₁＝ A₁C₁，F為B₁C₁的中點，AF⊥B₁C₁
      CC₁⊥面A₁B₁C₁且A,F平面A₁B₁C₁
 CC₁⊥A、F
又CC₁，A,F平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁= C₁
 A₁F⊥平面BCC₁B₁ 由（1）知AD ⊥平面BCC₁B₁
 A₁F∥AD，又AD平面ADE，A₁F平面ADE
 A₁F∥平面ADE                12分