Question

如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，，．
（1）求證平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（方法一：傳統幾何方法）（1）證明線面平行，可在平面內找到一條線與面外的線AF平行即可，因此本小題可取CE中點為G，連接DG，FG，證明四邊形AFGD為平行四邊形即可完成證明；（2）本小題中可過點E作CB的平行線交BF的延長線于P，連接FP,EP,AP，把問題轉化為證明為平面與平面所成銳二面角的平面角，再利用直角三角形的邊角關系算出其余弦值.
（方法二：空間向量方法）（1）本小題可以以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立空間直角坐標系，把問題轉化為證明AF的方向向量與平面CDE的一個法向量垂直（證它們的數量積為零），而根據題意易得這個法向量為；（2）本小題為常考的利用空間向量解決面面角問題，只需找到這兩個面的法向量，利用公式完成計算即可，但要注意本題面面角為銳二面角.
試題解析：（方法一：）（1）取CE中點為G，連接DG，FG，

且,∴四邊形BFGC為平行四邊形，則且.
∵四邊形ABCD為矩形，∴且,∴且,
∴四邊形AFGD為平行四邊形，則
∵，,∴.
（2）過點E作CB的平行線交BF的延長線于P，連接FP,EP,AP,
∵,∴A,P,E,D四點共面.四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又，平面，，又平面平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角.
，．即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．
（方法二：）（1）四邊形為直角梯形，四邊形為矩形，，，又平面平面，且平面平面,∴平面,以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CD所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

根據題意我們可得以下點的坐標：
∵∴為平面的一個法向量，又∵
∴平面.
（2）設平面的一個法向量為則,∵
， 取，得．平面，平面一個法向量為，設平面與平面所成銳二面角的大小為，則．因此，平面與平面所成銳二面角的余弦值為．