Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值;

（2）當時,若恒成立,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值. （2）

【解析】

（1）由得,當,得,即可求得函數的極值.

（2）由題意有恒成立,即恒成立, 設,則, 求得的最小值,即可求得實數的取值范圍.

（1）由得,

令,得,

當時,當時,

函數在上單調遞減;函數在單調遞增.

函數存在極小值.其極小值為,無極大值.

（2）由題意有恒成立,即恒成立,

設,

則,

設,下面證明有唯一解.

易知單調遞增,且,所以若有零點x,則,

令,可得,（※）

注意到,

所以方程（※）等價于,

又由（1）可知,當時,在上單調遞增,

又當時,,

所以方程等價于方程,

設函數,則單調遞增,

又,,所以存在,使得

,即方程有唯一解,即,

因此方程有唯一解,

所以有唯一解.

且當時,,單調遞減;

當時,,單調遞增;

所以的最小值為,

所以.