Question

已知圓C1：x2＋y2－2y＝0，圓C2：x2＋(y＋1)2＝4的圓心分別為C1，C2，P為一個動點，且直線PC1，PC2的斜率之積為－.

(1)求動點P的軌跡M的方程；

(2)是否存在過點A(2，0)的直線l與軌跡M交于不同的兩點C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在

【解析】(1)兩圓的圓心坐標分別為C1(0，1)，和C2(0，－1)，

設動點P的坐標為(x，y)，則直線PC1，PC2的斜率分別為(x≠0)和 (x≠0)．

由已知條件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．

所以動點P的軌跡M的方程為＋y2＝1(x≠0)．

(2)假設存在滿足條件的直線l，易知點A(2，0)在橢圓M的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓M無交點，此時不符合題意，所以直線l斜率存在，設為k，則直線l的方程為y＝k(x－2)．

聯立方程組得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①

依題意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.

當－<k<時，設交點分別為C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中點為N(x0，y0)，

則x1＋x2＝，則x0＝＝，

所以y0＝k(x0－2)＝k＝.

要使|C1C|＝|C1D|，必須C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，

所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，

因為Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0無解，

所以不存在直線，使得|C1C|＝|C1D|，

綜上所述，不存在直線l，使得|C1C|＝|C1D|.