Question

過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l₁、l₂,l₁交x軸于A點,l₂交y軸于B點,求線段AB的中點M的軌跡方程.

Answer 1

解法一:如圖,設點M的坐標為(x,y),

∵M為線段AB的中點,

∴A的坐標為(2x,0),B的坐標為(0,2y).

∵l₁⊥l₂,且l₁、l₂過點P(2,4),

∴PA⊥PB,k_PA·k_PB=-1.而k_PA=,k_PB=(x≠1),

∴ =-1(x≠1),整理,得x+2y-5=0(x≠1).

∵當x=1時,A、B的坐標分別為(2,0)、(0,4),

∴線段AB的中點坐標是(1,2),它滿足方程x+2y-5=0.

綜上所述,點M的軌跡方程是x+2y-5=0.

解法二:如下圖,設M的坐標為(x,y),則A、B兩點的坐標分別是(2x,0)、(0,2y),連結PM.

∴l₁⊥l₂.

∴2|PM|=|AB|.而|PM|=,

|AB|=,

∴2=.

化簡,得x+2y-5=0,故點M的軌跡方程為x+2y-5=0.