Question

已知圓C過原點(diǎn)O，且與直線x+y=4相切于點(diǎn)A（2，2）．
（1）求圓C的方程；
（2）過原點(diǎn)O作射線交圓C于另一點(diǎn)M，交直線x=3于點(diǎn)N．
①OM•ON是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
②若射線OM上一點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足OP²=OM•ON，求證：x₀³+x₀y₀²-6x₀-6y₀=0．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得到圓心即為線段OA的中點(diǎn)，求出線段OA中點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心，求出圓心到A的距離即為半徑r，寫出圓C方程即可；
（2）①設(shè)射線方程為y=kx，代入圓C方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出M的橫坐標(biāo)，根據(jù)射線與x=3相交，得到M橫坐標(biāo)與3同號(hào)，確定出k大于-1，利用兩點(diǎn)的距離公式表示出OM•ON，化簡后根據(jù)k的范圍確定出其值不存在最小值；
②由P坐標(biāo)表示出OP，將OM•ON與OP的值代入OP²=OM•ON，再將k=

y0

x0

代入化簡即可得證．

解答：解：（1）由題意得：圓心為OA的中點(diǎn)（1，1），半徑r=

12+12

=

2

，
∴圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）①設(shè)射線所在直線方程為y=kx，
將它代入（x-1）²+（y-1）²=2得：（k²+1）x²-（2k+2）x=0，
∴x_M=

2k+2

k2+1

，
∵射線y=kx與直線x=3相交，
∴x_M與3同號(hào)，
∴k＞-1，
∴OM•ON=

xM2+yM2

•

xN2+yN2

=

(2k+2)2+(2k2+2k)2 (k2+1)2

•

9+(3k)2

=3|2k+2|=6k+6，
∵k＞-1，
∴OM•ON無最小值；
②證明：∵OP²=OM•ON，
∴x₀²+y₀²=6k+6，
又y₀=kx₀，
∴k=

y0

x0

代入上式得：x₀³+x₀y₀²-6x₀-6y₀=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線斜率，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．