Question

（2013•泉州模擬）已知△ABC外接圓O的半徑為1，且

OA

•

OB

=-

1

2

．
（Ⅰ）求AB邊的長及角C的大小；
（Ⅱ）從圓O內隨機取一個點M，若點M取自△ABC內的概率恰為

3 3

4π

，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積公式，可求∠AOB的大小，從而可求AB邊的長及角C的大小；
（Ⅱ）利用概率求出三角形的面積，分類討論，確定∠C=

π

3

，再利用三角形的面積公式及余弦定理，即可判斷三角形的形狀．

解答：解：（Ⅰ）依題意

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cos∠AOB=-

1

2

，…（2分）
得cos∠AOB=-

1

2

，
又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=

2π

3

，…（4分）
又△AOB為等腰三角形，故AB=

3

，…（5分）
∠C=

1

2

∠AOB=

π

3

或∠C=

1

2

(2π-∠AOB)=

2π

3

．…（6分）
（Ⅱ）依題意，從圓O內隨機取一個點，取自△ABC內的概率P=

S△ABC

S圓O

，
可得S△ABC=

3 3

4

．…（8分）
設BC=a，AC=b．
設∠C=

2π

3

，由S△ABC=

1

2

•ab•sinC=

3 3

4

，得ab=3，…①
由AB²=a²+b²-2abcosC=3，得a²+b²+ab=3，…②
聯立①②得a²+b²=0，這是不可能的．
所以必有∠C=

π

3

．…（9分）
由S△ABC=

1

2

•ab•sinC=

3 3

4

，得ab=3，…①
由AB²=a²+b²-2abcosC=3，得a²+b²-ab=3，a²+b²=6…②…（11分）
聯立①②解得a=b=

3

．
所以△ABC為等邊三角形．…（12分）

點評：本小題主要考查向量的數量積、幾何概型、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想等．