Question

如圖：C、D是以AB為直徑的圓上兩點，AB=2AD=2，AC=BC，F是AB上一點，且AF=AB，將圓沿直徑AB折起，使點C在平面ABD的射影E在BD上．

（I）求證平面ACD⊥平面BCD；
（II）求證：AD∥平面CEF．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據直徑所對的圓周角為直角，得到AD⊥BD，結合CE⊥平面ADB得AD⊥CE，所以AD⊥平面BCD，最后根據面面垂直的判定定理，可得平面ACD⊥平面BCD；
（II）直角三角形BCD中，根據Rt△CED∽Rt△BCD，得CD²=BD•DE，結合CD、BD的長算出DE的長，從而得到DE：DB=AF：AB，所以AD∥EF，結合線面平行的判定定理，可得AD∥平面CEF．
解答：解：（I）∵AB是圓的直徑，∴AD⊥BD
∵點C在平面ABD的射影E在BD上，即CE⊥平面ADB
∴結合AD?平面ADB，得AD⊥CE
∵BD、CE是平面BCD內的相交直線
∴AD⊥平面BCD
∵AD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD；
（II）Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD==3
等腰Rt△ABC中，AB=2，∴AC=BC=AB=
∵AD⊥平面BCD，CD⊆平面BCD，∴AD⊥CD
Rt△ADC中，CD==，
∵Rt△BCD中，CE是斜邊BD上的高
∴Rt△CED∽Rt△BCD，得=，
因此，CD²=BD•DE，即3=3•DE，得DE=1
∴△ABD中，，可得EF∥AD
∵AD?平面CEF，EF?平面CEF
∴AD∥平面CEF
點評：本題將圓沿直徑翻折，求證面面垂直和線面平行，著重考查了空間線面平行的判定、線面垂直的性質和面面垂直的判定等知識，屬于中檔題．