Question

設函數f（x）的定義域為R，且f（x+2）=f（x+1）-f（x），若f（4）＜-1，f(2011)=

a+3

a-3

，則a的取值范圍是（　　）

A．（-∞，3）

B．（0，3）

C．（3，+∞）

D．（-∞，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析：先根據條件f（x+2）=f（x+1）-f（x）可得函數的周期性，然后將f（2011）轉化成f（4），根據f（4）的范圍建立不等關系，解之即可求出a的取值范圍．

解答：解：∵f（x+2）=f（x+1）-f（x），①
∴f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）②
將①+②得f（x+3）=-f（x）
∴f（x+6）=f（x）
∴f（2011）=f（7+334×6）=f（7）=f（4+3）=-f（4）
∵f（4）＜-1
∴f(2011)=

a+3

a-3

=-f（4）＞1
解得a＞3
故選C．

點評：本題主要考查了抽象函數及其應用，以及函數的周期性和分式不等式的解法，屬于中檔題．