Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，且an=3an-1+2n-1(n∈N*且n≥2)，
（1）證明數列{an+2n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，可得an+2n=3(an-1+2n-1)，從而可知{an+2n}是以a1+21即為首項，以3為公比的等比數列；
（2）求出數列的通項，再分組求和，即可求得數列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）設an+A•2n=3(an-1+A•2n-1)，整理得an=3an-1+A•2n-1，
對比an=3an-1+2n-1，得A=1．
∴an+2n=3(an-1+2n-1)，
∴{an+2n}是以a1+21即為首項，以3為公比的等比數列，
（2）由（1）知an+2n=3•3n-1=3n，
∴an=3n-2n，n∈N*，
∴Sn=(31-21)+(32-22)+(33-23)+  …+(3n-2n)=(31+32+33+…+3n)-(21+22+23+…+2n)=

3(1-3n)

1-3

-

2(1-2n)

1-2

=

3n+1

2

-2n+1+

1

2

．

點評：本題考查構造法證明等比數列，考查數列的求和，解題的關鍵是構造新數列，證明等比數列，掌握數列求和的方法．