Question

在一次抗洪搶險中，準備用射擊的方法引爆從河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5發子彈備用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射擊命中的概率都是，每次命中與否互相獨立．
（Ⅰ）求恰好射擊5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ，求ξ的分布列及ξ的數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵每次命中與否互相獨立．且每次射擊命中的概率都是，
∴是一個獨立重復試驗，
記“恰好射擊5次引爆油罐”的事件為事件A，
表示前四次有一次射中且第五次一定擊中，
∴．
（Ⅱ）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5．
當ξ=2時，表示兩槍都擊中，
當ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，
當ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，
當ξ=5時，表示前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中，
∴；
；
；
．
∴ξ的分布列為
．
∴所求ξ的數學期望為．
分析：（Ⅰ）由題意知每次命中與否互相獨立．且每次射擊命中的概率都是，本試驗是一個獨立重復試驗，恰好射擊5次引爆油罐表示前四次有一次射中且第五次一定擊中，根據獨立重復試驗公式得到結果．
（2）射擊次數ξ的可能取值為2，3，4，5．當ξ=2時，表示兩槍都擊中，當ξ=3時，表示前兩槍中有一槍擊中且第三槍一定擊中，當ξ=4時，表示前三槍中有一槍擊中且第四槍一定擊中，當ξ=5時，表示前四槍中有一槍擊中且第五槍一定擊中，寫出分布列．
點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，注意滿足獨立重復試驗的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點也是重點，這種題目高考必考，應注意解題的格式．