Question

已知直線l₁：4x－3y＋6＝0和直線l₂：x＝－ (p>2)．若拋物線C：y²＝2px上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為2.
(1)求拋物線C的方程；
(2)若拋物線上任意一點M處的切線l與直線l₂交于點N，試問在x軸上是否存在定點Q，使Q點在以MN為直徑的圓上，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y²＝4x（2）存在定點Q(1，0)，使Q在以MN為直徑的圓上．

(1)由定義知l₂為拋物線的準線，拋物線焦點F，由拋物線定義知拋物線上點到直線l₂的距離等于其到焦點F的距離．
所以拋物線上的點到直線l₁和直線l₂的距離之和的最小值為焦點F到直線l₁的距離．
所以2＝，則p＝2，所以拋物線方程為y²＝4x.
(2)設M(x₀，y₀)，由題意知直線斜率存在，設為k，且k≠0，所以直線l方程為y－y₀＝k(x－x₀)，
代入y²＝4x消x得ky²－4y＋4y₀－k＝0.
由Δ＝16－4k(4y₀－k)＝0，得k＝.
所以直線l方程為y－y₀＝ (x－x₀)，
令x＝－1，又由＝4x₀，得N.
設Q(x₁，0)則＝(x₀－x₁，y₀)，＝.
由題意知·＝0，即(x₀－x₁)(－1－x₁)＋＝0，把＝4x₀代入，得(1－x₁)x₀＋＋x₁－2＝0，因為對任意的x₀等式恒成立，所以
所以x₁＝1，即在x軸上存在定點Q(1，0)，使Q在以MN為直徑的圓上．