【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，
，且
，
平面BCE.
（1）證明：平面
平面BDFE；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】
（1）先推導出
，
，證得
平面ABCD，進而得到
，由此能力證明
平面BDFE，從而得到平面
平面BDFE；
（2）以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系
，分別求得平面
的法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.
（1）由題意，因為四邊形ABCD為正方形，
.
，
，
.
又
平面BCE，
.
，
平面ABCD，
.
又
，
平面BDFE，
平面AEC，
平面平面BDFE.
（2）
平面ABCD，
，所以
平面ABCD，
以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，令
，
則
，
，
，
，
所以
，
，
，
設平面AFC的法向量為
，則
，
令
，則
，所以
，
設平面EFC的法向量為
，則
，
令
，則
，
，所以
，
.
因為二面角
為銳角，所以二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為
，且經過點
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）設
是橢圓與
軸正半軸的交點，上是否存在兩點
，使得
是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明滿足條件的的個數；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一次
公里的自行車個人賽中，25名參賽選手的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示：
(1)現將參賽選手按成績由好到差編為1～25號，再用系統抽樣方法從中選取5人，已知選手甲的成績為85分鐘，若甲被選取，求被選取的其余4名選手的成績的平均數；
(2)若從總體中選取一個樣本，使得該樣本的平均水平與總體相同，且樣本的方差不大于7，則稱選取的樣本具有集中代表性，試從總體(25名參賽選手的成績)選取一個具有集中代表性且樣本容量為5的樣本，并求該樣本的方差.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大型工廠有
臺大型機器，在
個月中，臺機器至多出現次故障，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，出現故障時需名工人進行維修．每臺機器出現故障的概率為
．已知名工人每月只有維修臺機器的能力，每臺機器不出現故障或出現故障時有工人維修，就能使該廠獲得
萬元的利潤，否則將虧損
萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人
萬元的工資．
（1）若每臺機器在當月不出現故障或出現故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有
名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；
（2）已知該廠現有
名維修工人．
（ⅰ）記該廠每月獲利為
萬元，求的分布列與數學期望；
（ⅱ）以工廠每月獲利的數學期望為決策依據，試問該廠是否應再招聘名維修工人？
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