Question

設集合M={a，1}，N={b，1，2}，M⊆N，a，b∈{1，2，3，…，8}，且在直角坐標平面內，從所有滿足這些條件的有序實數對（a，b）所表示的點中任取一個，其落在圓x²+y²=r²內的概率恰為

1

3

，則r²的所有可能的整數值是

30，31，32

．

Answer 1

分析：根據題意，根據集合中元素的互異性，分①a=2與②a=b兩種情況討論（a，b），列舉可得（a，b）的情況數目，計算可得每種情況對應a²+b²的值，分析可得，（a，b）表示的12個點中有4個點在圓的內部，8個點在圓的外部或圓上，又由a²+b²的值，分析可得r²的取值范圍，進而可得r²的所有可能的整數值，即可得答案．

解答：解：根據題意，分2種情況討論（a，b）：
①、若a=2，則b可以為3、4、5、6、7、8，共6種情況，
即有序實數對（a，b）有（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8），共6種情況；
②、若a=b，則a和b可取的值為3、4、5、6、7、8，共6種情況，
此時有序實數對（a，b）有（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6）、（7，7）、（8，8），共6種情況；
則（a，b）的情況共有6+6=12種，
而對應a²+b²的值為13、20、29、40、53、68、18、32、50、72、98、108，也有12種情況，
如果點（a，b）落在圓x²+y²=r²內的概率恰為

1

3

，
則有4個點在圓的內部，8個點在圓的外部或圓上，
又由a²+b²的值，則29＜r²≤32，故r²的所有可能的整數值為30、31、32；
故答案為30、31、32．

點評：本題考查概率的應用，注意借助集合中元素的互異性，由此分析點（a，b）的情況數目．