Question

已知銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且2sin(c+

π

3

)=sin2C+sin

π

3

．
（1）求角C的大小；
（2）若a=4，設D是BC的中點，

AD

•

AC

=2

AB

•

AC

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據兩角和的正弦公式和二倍角三角函數公式，將已知等式化簡整理得：sinC+

3

cosC=2sinCcosC+

3

2

，再因此分解得（2cosC-1）（

3

2

-sinC）=0，最后結合△ABC是銳角三角形，可得出C=

π

3

；
（2）D是BC的中點，得

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

），代入

AD

•

AC

=2

AB

•

AC

并化簡整理，得2

AC

2=3

BC

•

AC

=

3

2

|

BC

|•|

AC

|，
因此，|

AC

|=

3

4

|

BC

|即b=

3

4

a=3，再由正弦定理的面積公式，即可算出△ABC的面積．

解答：解：（1）∵2sin(c+

π

3

)=sin2C+sin

π

3

∴2（sinCcos

π

3

+cosCsin

π

3

）=2sinCcosC+

3

2

即sinC+

3

cosC=2sinCcosC+

3

2

，移項整理得：（2cosC-1）（

3

2

-sinC）=0
∴cosC=

1

2

或sinC=

3

2

，結合C為銳角，可得C=

π

3

（2）∵D是BC的中點，得

AD

=

1

2

（

AB

+

AC

）
∴

AD

•

AC

=2

AB

•

AC

即

1

2

（

AB

+

AC

）•

AC

=2

AB

•

AC

化簡整理，得

AC

2=3

AB

•

AC

=3（

AC

+

CB

）•

AC

∴2

AC

2=3

BC

•

AC

=3|

BC

|•|

AC

|cosC=

3

2

|

BC

|•|

AC

|
因此，|

AC

|=

3

4

|

BC

|即b=

3

4

a=3
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×4×3×sinC=3

3

．

點評：本題給出銳角三角形，在已知三角等式的情況下求角C的大小，求三角形的面積，著重考查了兩角和的正弦公式、正弦定理和向量數量積的運算公式等知識，屬于中檔題．