Question

在某次趣味運動會中，甲、乙、丙三名選手進行單循環賽（即每兩人比賽一場），共賽三場，每場比賽勝者得1分，輸者得0分，沒有平局；在每一場比賽中，甲勝乙的概率為

1

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

3

．
（Ⅰ）求甲獲得小組第一且丙獲得小組第二的概率；
（Ⅱ）求三人得分相同的概率；
（Ⅲ）設在該小組比賽中甲得分數為ξ，求Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲獲得小組第一且丙獲得小組第二，則甲勝兩場，丙勝一場．
（Ⅱ）求三人得分相同，則甲、乙、丙三人各勝一場．
（Ⅲ）該小組比賽中甲可能勝0場、勝1場、勝兩場．得分數為0、1、2．

解答：解：（Ⅰ）設甲獲小組第一且丙獲小組第二為事件A，
所有場次為（甲、乙）、（甲、丙）、（乙、丙）
則甲獲小組第一且丙獲小組第二為甲勝兩場，丙勝一場
所以P（A）=

1

3

×

1

4

×

2

3

=

1

18

（Ⅱ）設三場比賽結束后，三人得分相同為事件B，
即每人勝一場輸兩場，有以下兩種情形：
甲勝乙，乙勝丙，丙勝甲，概率為P₁=

1

3

×

1

3

×

3

4

=

1

12

，
甲勝丙，丙勝乙，乙勝甲，概率為P₂=

1

4

×

2

3

×

2

3

=

1

9

，
三人得分相同的概率為P（B）=P₁+P₂=

1

12

+

1

9

=

7

36

．
（Ⅲ）ξ可能的取值為0、1、2，
P（ξ=0）=

2

3

×

3

4

=

1

2

，P（ξ=1）=

1

3

×

3

4

+

1

4

×

2

3

=

5

12

，
P（ξ=2）=

1

3

×

1

4

=

1

12

，
所以ξ的分布列為：

Eξ=0×

1

2

+1×

5

12

+2×

1

12

=

7

12

．

點評：此題是典型的比賽制問題，考查學生分析問題、解決問題的能力．解決概率問題，有時候列一列會有意想不到的效果．