Question

【題目】如圖幾何體是四棱錐，為正三角形， ，且.

（1）求證: 平面平面；

（2）是棱的中點，求證:平面；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；(3).

【解析】

試題分析：（1）先證面再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2），再由由線線平行得到線面平行可得平面；(3)建立空間直角坐標系, 分別算出平面和平面的法向量, 用空間向量數量積推論算出二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明: 為正三角形，故連接交于點，則,又， 故面平面平面 .

（2）證明: 取的中點，連接，則，且平面平面；而，且平面平面.綜上所述，平面平面平面 .

（3）由（1）知，且，則是直角三角形，且，在中作于，可求得也即與重合，故；又是的中點，故，故如圖建立空間直角坐標系，則.設平面的法向量為，則由得,同理得平面的法向量,故二面角的平面角的余弦值為.