Question

【題目】已知函數與.

（1）若曲線與曲線恰好相切于點，求實數的值；

（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：. .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出導函數 由 ，解方程可得；

（2）由 在恒成立的必要條件為得，再利用導數研究函數的單調性及最值，從而證明時，對任意 ，總有；（3）由（2）知：時，令，化簡可得，再令 ，多個不等式求和，利用對數的運算法則即可的結論.

試題解析：（1）先求出導函數 由 ，解方程可得.

（2）令，則 ，在恒成立的必要條件為.即，又當時，，，令，則，即，在遞減，即，在恒成立的充分條件為.綜上，可得：

（3）設為的前n項和，則，要證原不等式，只需證：，由（2）知：時即：（當且僅當時取等號）.令，則，即：，即, 令 ，多個不等式求和，從而原不等式得證