Question

在平面直角坐標系xOy中，平面區域W中的點的坐標（x，y）滿足x²+y²≤4，從區域W中隨機取點M（x，y）；
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，令ξ=x²+y²，求ξ的分布列與數學期望；
（Ⅱ）已知直線l：y=-x+b（b＞0）與圓x²+y²=4相交所截得的弦長為2

2

，求y≥-x+b的概率．

Answer 1

分析：（I）先一一列舉出平面區域W中的整點的個數，再看看在第四象限的有多少個點，最后利用概率公式計算即得；
（II）因滿足：“y≥-x+b”的平面區域是一個弓形區域，欲求y≥-x+b的概率，只須求出弓形區域的面積與圓的面積之比即可．

解答：解：（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，則點M的個數共有21個，
列舉如下：（-2，0），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，0）．
∴p（ξ=0）=

1

13

，p（ξ=1）=

4

13

，p（ξ=2）=

4

13

，p（ξ=4）=

4

13

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	4
P	1 13	4 13	4 13	4 13

∴Eξ=0×

1

13

+1×

4

13

+2×

4

13

+4×

4

13

=

28

13

．
（Ⅱ）由已知可知區域W的面積是4π．
直線l：y=-x+b（b＞0）與圓x²+y²=4相交所截得的弦長為2

2

，

如圖，可求得扇形的圓心角為

π

2

，
所以扇形的面積為 S=

π 2

2π

×π×4=π，
則滿足y≥-x+b的點M構成的區域的面積為π-

1

2

×2×2=π-2，所以y≥-x+b的概率為

π-2

4π

．

點評：本題主要考查了古典概型和幾何概型，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=

m

n

．如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．