Question

已知函數f（x）的定義域為R，對于任意實數x都有f（x+2）=f（x）且f（-x）=f（x），當x∈[0，1]時，f（x）=x²．若在區間[-1，3]內，g（x）=f（x）+mx+m有且只有4個零點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．[-

  1

  4

  ，0)
• B．(-

  1

  4

  ，0)
• C．(0，

  1

  4

  ]
• D．(0，

  1

  4

  )

Answer 1

分析：由題意可得，函數f（x）是偶函數，且是周期為2的周期函數，在區間[-1，3]內，函數y=f（x）的圖象和直線y=-m（x+1）有且只有4個交點，數形結合求得
m的范圍．

解答：解：由題意可得，函數f（x）是偶函數，且是周期為2的周期函數，
在區間[-1，3]內，函數y=f（x）的圖象和直線y=-m（x+1）有且只有4個交點．
∵當x∈[0，1]時，f（x）=x² ，故當x∈[-1，0]時，f（x）=x² ．
再根據直線y=-m（x+1）過定點（-1，0），
如圖所示：
數形結合可得，0＜-m（3+1）≤1，解得-

1

4

≤m＜0，
故選A．

點評：本題主要考查函數的奇偶性和周期性，方程根的存在性以及個數判斷，體現了轉化和數形結合的數學思想，屬于中檔題．