Question

（本小題滿分13分）

設函數對任意的實數，都有，且當時，。

（1）若時，求的解析式；

（2）對于函數，試問：在它的圖象上是否存在點，使得函數在點處的切線與平行。若存在，那么這樣的點有幾個；若不存在，說明理由。

（3）已知，且 ，記，求證： 。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）；（2）滿足題意的點有5個；（3）  .                          

 

【解析】本試題主要考查了函數的解析式的求解，以及過點的切線方程的問題，和不等式的證明 的綜合運用。

（1）第一問中將所求的變量轉化為已知的區間，利用已知的關系式求解得到解析式。

（2）在第一問的基礎上進一步得到函數的一般式，然后利用導數的思想，只要判定導函數為零，方程有無解即可。

（3）在第二問的得到函數的單調性，以及函數的最大值，然后結合函數的最值得到不等式，再結合等比數列的求和的思想得到。

解：（1）∵

設，則，∴。…………………2分

（2）設，則，

∴

∴，即為………4分

∵

 

∴問題轉化為判斷：關于的方程在，內是否解，即在，內是否有解，……………………6分

令

函數 的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是直線，

判別式，

且，，

當時，∵，

∴方程分別在區間上各有一解，即存在5個滿足題意的點

②當時，∵，∴方程在區間上無解。

綜上所述：滿足題意的點有5個。                       …………………………9分

（3）由（2）可知：

∴當時，，在上遞增；

當時，，在上遞減。

∴當時，，

又

∴對任意的，當時，都有，

∴。

∴                                       …………………………13分