Question

（21）設a為實數，函數f（x）＝x²＋|x－a|＋1，x∈R.

（Ⅰ）討論f（x）的奇偶性；

（Ⅱ）求f（x）的最小值.

Answer 1

（21）本小題主要考查函數的概念、函數的奇偶性和最小值等基礎知識，考查分類討論的思想和邏輯思維能力.

解：

（Ⅰ）當a＝0時，函數f（－x）＝（－x）²＋|－x|＋1＝f（x），此時f（x）為偶函數.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

當a≠0時，f（a）＝a²＋1，f（－a）＝a²＋2|a|＋1，f（－a）≠f（a）,f（－a）≠－f（a）.

此時函數f（x）既不是奇函數，也不是偶函數.　　　　　　　　

 

（Ⅱ）（i）當x≤a時，函數f（x）＝x²－x＋a＋1＝（x－）²＋a＋.

若a≤，則函數f（x）在（－∞，a]上單調遞減，從而，函數

f（x）在（－∞，a]上的最小值為f（a）＝a²＋1.

若a＞，則函數f（x）在（－∞，a]上的最小值為

f（）＝＋a，且f（）≤f（a）.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

（ⅱ）當x≥a時，函數f（x）＝x²＋x－a＋1＝（x＋）²－a＋.

 

若a≤－，則函數f（x）在［a，＋∞）上的最小值為f（－）＝－a，且f（－）≤f（a）.

若a＞－，則函數f（x）在［a，＋∞）上單調遞增，從而，函數f（x）在［a，＋∞）上的

最小值為f（a）＝a²＋1.　　　　　　

綜上，當a≤－時，函數f（x）的最小值是－a.

 

當－＜a≤時，函數f（x）的最小值是a²＋1.

 

當a＞時，函數f（x）的最小值是a＋.