Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a＝(x，y－)，b＝(kx，y＋)(k∈R)，a⊥b，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)的軌跡為T.

(1)求軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀；

(2)當(dāng)k＝時(shí)，已知點(diǎn)B(0，－)，是否存在直線l：y＝x＋m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)落在軌跡T上？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)∵ a⊥b，

∴a·b＝(x，y－)·(kx，y＋)＝0，

得kx²＋y²－2＝0，即kx²＋y²＝2，

當(dāng)k＝0時(shí)，方程表示兩條與x軸平行的直線；

當(dāng)k＝1時(shí)，方程表示以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓；

當(dāng)k＞0且k≠1時(shí)，方程表示橢圓；

當(dāng)k＜0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線.

(2)當(dāng)k＝時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡T的方程為＋＝1，設(shè)滿足條件的直線l存在，點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為B′(x₀，y₀)，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：

＝－1，＝＋m，解得：

x₀＝－－m，y₀＝m，

∵點(diǎn)B′(x₀，y₀)在軌跡T上，

∴＋＝1，

整理得3m²＋2m－2＝0，

解得m＝或m＝－，

∴直線l的方程為y＝x＋或y＝x－，

經(jīng)檢驗(yàn)y＝x＋和y＝x－都符合題意，

∴滿足條件的直線l存在，其方程為y＝x＋或y＝x－.