Question

已知數列的首項為a₁=2，前n項和為S_n，且對任意的n∈N^*，當n≥2時，a_n總是3S_n-4與的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=（n+1）a_n，T_n是數列{b_n}的前n項和，n∈N^*，求T_n；
（Ⅲ）設，P_n是數列{c_n}的前項和，n∈N^*，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當，由此能導出數列{a_n}是首項是2，公比是的等比數列，從而能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由，知T_n=b₁+b₂+…b_n=，利用錯位相減法能求出T_n．
（Ⅲ）由=，能夠證明．
解答：（Ⅰ）解：當，


∴．
∴數列{a_n}是首項是2，公比是的等比數列，
∴=．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），知．
則T_n=b₁+b₂+…b_n=…①
∴…②…（5分）
①-②，得
=
=．
∴．…（8分）
（Ⅲ）證明：∵
=…（12分）
∴
=．…（14分）
點評：本題考查數列通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查不等式的證明．解題時要認真審題，熟練掌握等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式的應用，注意錯位相減法的合理運用．