Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a1=

2

3

，an+1=

2an

an+2

(n∈Z*)，則a_n=

an=

2

n+2

．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推公式，通過(guò)取倒數(shù)得到一個(gè)新數(shù)列，利用新數(shù)列的特點(diǎn)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答：解：由an+1=

2an

an+2

(n∈Z*)，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得到

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

．
所以數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

=

3

2

為首項(xiàng)，d=

1

2

為公差的等差數(shù)列．
所以

1

an

=

3

2

+

1

2

(n-1)=

n+2

2

，即an=

2

n+2

．
故答案為：an=

2

n+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用遞推公式通過(guò)取倒數(shù)，將數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)新的等差數(shù)列，是解決本題的關(guān)鍵．