Question

（08年黃岡中學二模理）已知函數，滿足：

①對任意，都有；

②對任意都有.

（I）試證明：為上的單調增函數；

（II）求；

（III）令，試證明：.

Answer 1

解析：（I）由①知，對任意，都有，

由于，從而，所以函數為上的單調增函數.

（II）令，則，顯然，否則，與矛盾.從而，而由,即得.

又由（I）知，即.

于是得，又，從而，即.  

進而由知，.

于是,    

   ,             ,

,         ,

,       由于,

而且由（I）知，函數為單調增函數，因此.

從而.    

（III）,

，.

即數列是以6為首項, 以3為公比的等比數列 .

 ∴    

于是,顯然,   

另一方面,

從而.      

綜上所述, .