Question

（2013•門頭溝區一模）已知P（x，y）是中心在原點，焦距為10的雙曲線上一點，且

y

x

的取值范圍為（-

3

4

，

3

4

），則該雙曲線方程是（　　）

• A．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• B．

  y2

  9

  -

  x2

  16

  =1
• C．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1
• D．

  y2

  16

  -

  x2

  9

  =1

Answer 1

分析：根據直線的斜率公式和雙曲線的漸近線方程，結合題意得到

b

a

=

3

4

，再由平方關系得到a²+b²=25，聯解可得a、b的值，即可得到該雙曲線方程．

解答：解：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的漸近線為y=±

b

a

x
∴動點P（x，y）與原點連線的斜率為k=

y

x

且k∈（-

b

a

，

b

a

）
∵由已知

y

x

的取值范圍為（-

3

4

，

3

4

），∴

b

a

=

3

4

…①
又∵雙曲線的焦距為2c=10，得c=5
∴a²+b²=c²=25…②
聯解①②，可得a=4，b=3，所以雙曲線方程為

x2

16

-

y2

9

=1
故選：C

點評：本題給出雙曲線的焦距，在已知曲線上動點P與原點連線斜率范圍的情況下求雙曲線的方程，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．