Question

已知函數f(x)＝

(1)若x<a時，f(x)<1恒成立，求a的取值范圍；

(2)若a≥－4時，函數f(x)在實數集R上有最小值，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）a≤log2 （2）a>時，函數f(x)有最小值

【解析】(1)因為x<a時，f(x)＝4x－4×2x－a，所以令t＝2x，則有0<t<2a.

當x<a時f(x)<1恒成立，轉化為t2－4×<1，

即>t－在t∈(0，2a)上恒成立．

令p(t)＝t－，t∈(0，2a)，則p′(t)＝1＋>0，所以p(t)＝t－在(0，2a)上單調遞增，

所以≥2a－，所以2a≤，解得a≤log2 .

(2)當x≥a時，f(x)＝x2－ax＋1，即f(x)＝＋1－，

當≤a時，即a≥0時，f(x)min＝f(a)＝1；

當>a時，即－4≤a<0，f(x)min＝f＝1－.

當x<a時，f(x)＝4x－4×2x－a，令t＝2x，t∈(0，2a)，則h(t)＝t2－t＝－，

當<2a，即a> 時，h(t)min＝h＝－；

當≥2a，即a≤時，h(t)在開區間t∈(0，2a)上單調遞減，h(t)∈(4a－4，0)，無最小值．

綜合x≥a與x<a，所以當a> 時，1>－，函數f(x)min＝－；

當0≤a≤時，4a－4<0<1，函數f(x)無最小值；

當－4≤a<0時，4a－4<－3≤1－，函數f(x)無最小值．

綜上所述，當a>時，函數f(x)有最小值．