Question

已知函數f（x）的定義域為[-2，+∞），且f（4）=f（-2）=1，f′（x）為f（x）的導函數，函數y=f′（x）的圖象如圖所示，則在平面直角坐標系aOb中，平面區域

a≥0 b≥0 f(2a+b)＜1

的面積是

4

．

Answer 1

分析：根據導函數的圖象，分析原函數的性質，或作出原函數的草圖，找出a、b滿足的條件，畫出平面區域，即可求解．

解答：解：由圖可知x∈（-2，0）上f′（x）＜0，
∴函數f（x）在[-2，0）上單調遞減，
x∈（0，+∞）上f′（x）＞0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
又f（4）=f（-2）=1，
∴平面區域

a≥0 b≥0 f(2a+b)＜1

⇒

a≥0 b≥0 -2＜2a+b＜4

．
可行域如圖，
∴平面區域的面積為

1

2

×2×4=4．
故答案為4．

點評：本題考查了導數與函數單調性的關系，以及線性規劃問題的綜合應用，屬于中檔題．解決時要注意數形結合思想應用．