Question

求下列函數的定義域、值域及其單調區間：
（1）f(x)=3;
(2)g(x)=-(.

Answer 1

（1）f（x）的增區間是［4，+∞），減區間是（-∞，1］（2）g(x)的單調遞增區間是（-∞，-1］，單調遞減區間是［-1，+∞）

（1）依題意x²-5x+4≥0,
解得x≥4或x≤1,
∴f（x）的定義域是（-∞，1］∪［4，+∞）.
令u=∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），
∴u≥0，即≥0，而f(x)=3≥3⁰=1,
∴函數f(x)的值域是［1，+∞）.
∵u=,∴當x∈（-∞，1］時，u是減函數，
當x∈［4，+∞）時，u是增函數.而3＞1,∴由復合函數的單調性可知，
f（x）=3在（-∞，1］上是減函數，在［4，+∞）上是增函數.
故f（x）的增區間是［4，+∞），減區間是（-∞，1］.
（2）由g(x)=-(
∴函數的定義域為R，令t=(^x (t＞0),∴g(t)=-t²+4t+5=-(t-2)²+9,
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)²+9≤9,等號成立條件是t=2,
即g(x)≤9,等號成立條件是(=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.
由g(t)=-(t-2)²+9 (t＞0),而t=(是減函數，∴要求g(x)的增區間實際上是求g(t)的減區間，
求g(x)的減區間實際上是求g(t)的增區間.
∵g（t）在（0，2］上遞增，在［2，+∞）上遞減，
由0＜t=(≤2,可得x≥-1,由t=(≥2,可得x≤-1.
∴g（x）在［-1，+∞）上遞減，在（-∞，-1］上遞增，
故g(x)的單調遞增區間是（-∞，-1］，單調遞減區間是［-1，+∞）.