Question

已知函數y=x+

a

x

有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在(0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)上是增函數．
（1）如果函數y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），求實數m的值；
（2）求函數f(x)=x2+

a

x2

（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）函數y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是減函數，在[

3m

，+∞)上是增函數，根據函數y=x+

3m

x

(x＞0)的值域是[6，+∞），即可求實數m的值；
（2）令x²=t，從而問題可轉化為f（t）在[1，4]上的最小值，分類討論：1°當

a

＞4，即a＞16時，f（t）在[1，4]上是減函數；2°當1≤

a

≤2，即1≤a≤16時，g(a)=f(

a

)=2

a

；3°當

a

＜1，即0＜a＜1時，f（t）在[1，4]上是增函數，故可求最小值g（a）的表達式．

解答：解：（1）由已知，函數y=x+

3m

x

(x＞0)在(0，

3m

]上是減函數，在[

3m

，+∞)上是增函數，
∴ymin=

3m

+

3m

3m

=2

3m

，…（4分）
∴2

3m

=6，∴3^m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x²=t，∵x∈[1，2]，
∴t∈[1，4]，f(t)=t+

a

t

，
原題即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°當

a

＞4，即a＞16時，f（t）在[1，4]上是減函數，此時g(a)=f(4)=4+

a

4

，…（9分）
2°當1≤

a

≤2，即1≤a≤16時，g(a)=f(

a

)=2

a

，
3°當

a

＜1，即0＜a＜1時，f（t）在[1，4]上是增函數，此時g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=

1+a，0＜a＜1 2 a ，1≤a≤16 4+ a 4 ，a＞16

點評：本題考查函數的最值，考查函數的單調性，解題的關鍵是利用函數的單調性，解決函數的最值問題．