Question

已知函數y=x+

a

x

旦（a＞0）有如下的性質：在區間（0，

a

]上單調遞減，在[

a

，+∞）上單調遞增．
（1）如果函數f（x）=x+

2b

x

在（0，4]上單調遞減，在[4，+∞）上單調遞增，求常數b的值．
（2）設常數a∈[l，4]，求函數y=x+

a

x

在x∈[l，2]的最大值．

Answer 1

分析：（1）由所給性質求得函數y=x+

a

x

的單調區間，對比所給單調區間，即可得到方程，解出即可；
（2）根據性質求出函數單調區間，由a的范圍知函數y=x+

a

x

在x∈[l，2]的最大值只能在端點處取得，討論函數端點處函數值的大小即可得到答案．

解答：解：（1）由性質知，函數在（0，

2b

]上是單調遞減，在[

2b

，+∞）上單調遞增，
∴

2b

=4，解得b=4．
（2）由性質知，函數在（0，

a

]上單調遞減，在[

a

，+∞）上單調遞增，
∵a∈[1，4]，∴函數y=x+

a

x

在x∈[l，2]的最大值只能在端點處取得，
當x=1時，y=1+a，當x=2時，y=2+

a

2

，
令1+a≤2+

a

2

，得a≤2，
∴y_max=

2+ a 2 ，(1≤a≤2) 1+a，(2＜a≤4)

．

點評：本題考查函數單調性的性質，考查學生運用所學知識分析解決新問題的能力，屬中檔題．