Question

【題目】如圖，在以，，，，，為頂點的五面體中，面為正方形，，，且二面角與二面角都是.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明平面，結合平面，可得平面平面．（Ⅱ）建立空間坐標系，利用向量求解.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．

又平面，故平面平面．

（Ⅱ）過作，垂足為，由（Ⅰ）知平面．

以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由（Ⅰ）知為二面角的平面角，故，則，，可得，，，．

由已知，，所以平面．

又平面平面，故，．

由，可得平面，所以為二面角的平面角，

．從而可得．

所以，，，．

設是平面的法向量，則

，即，

所以可取．

設是平面的法向量，則，

同理可取．則．

故二面角EBCA的余弦值為．