Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側棱底面，底面為長方形，且，是的中點，作交于點.

（1）證明：平面；

（2）若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）推導出，，從而平面，進而，再證出，從而平面，，再由，能證明平面．
（II）由兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的正弦值．

詳解：

（1）證明：∵底面，平面，

∴

由于底面為長方形

∴，而，

∴平面

∵平面

∴

∵，為中點，

∴，

∵，

∴平面

∴，

又

∴平面

（2）由題意易知兩兩垂直，以為坐標原點，

建立如圖空間直角坐標系，可得

設，則有

∴

∴

設平面的法向量，由，則

令，則

∴

由（1）平面，

∴為平面的法向量

設二面角為，則

故

所以二面角的正弦值為.