Question

【題目】（本題滿分14分）已知函數．

（Ⅰ）若函數在其定義域上是增函數，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）當時，求出的極值；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若在內恒成立，試確定的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）實數的取值范圍是；

（Ⅱ）極大值，極小值；（Ⅲ），的取值范圍是．

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求出函數的導函數，再由函數的單調性得到在內恒成立，最后由分離參數法求出實數的取值范圍；

（Ⅱ）根據導函數的符號確定函數的單調區間與極值點，進而求出函數的極大值與極小值．

（Ⅲ）設，則在內恒成立

等價于結合（I）的結果，利用導數判斷函數的單調性，并出其最大值，從而求出的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）解：函數的定義域為，

則， 1分

因為函數在內是增函數，

所以在內恒成立 2分

所以， 在內恒成立 3分

因為當時， ，當且僅當，即時， 等號成立，

所以實數的取值范圍是． 5分

（Ⅱ）解：當時， 7分

當變化時， ， 的變化情況如下：

				1
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以， 在處取得極大值，

在處取得極小值． 9分

（Ⅲ）解：設

10分

則11分

由（I）可知，且，故，

所以在內為增函數 12分

因為，即，

所以，的取值范圍是14分