Question

（本題滿分14分）

已知是函數的一個極值點，且函數的圖象在處的切線的斜率為2.

（Ⅰ）求函數的解析式并求單調區間.（5分）

（Ⅱ）設，其中，問：對于任意的,方程在區間上是否存在實數根？若存在，請確定實數根的個數.若不存在，請說明理由.（9分）

 

Answer 1

【答案】

（I），單調增區間是，單調減區間是；

（Ⅱ）對于任意的,方程在區間上均有實數根且當時,有唯一的實數解；當時,有兩個實數解。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由x=0是函數f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一個極值點，f^′（0）=0，得到關于a，b的一個方程，函數f（x）的圖象在x=2處的切線的斜率為2e²，f^′（2）=2e²；得到一個關于a，b的一個方程，解方程組求出a，b即可；

（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在區間（-2，m）上是否存在實數根，轉化為求函數g（x）在區間（-2，m）上的單調性、極值、最值問題．

解：（I）………………1分

由……………………2分

又，故………3分

令得或

令得………………4分

故，單調增區間是，單調減區間是……5分.

（Ⅱ）解:假設方程在區間上存在實數根

設是方程的實根，,………………6分

 令,從而問題轉化為證明方程=0

在上有實根,并討論解的個數……………………7分

因為，,

所以 ①當時,,所以在上有解,且只有一解.…………………………9分

②當時,,但由于,

所以在上有解,且有兩解 ……………………………10分

③當時,,所以在上有且只有一解；

當時,,

所以在上也有且只有一解…………………………………12分

綜上, 對于任意的,方程在區間上均有實數根且當時,有唯一的實數解；當時,有兩個實數解……14分

考點：本試題主要考查了函數在某點取得極值的條件和導數的幾何意義，求函數f（x）的解析式體現了方程的思想；方程根的個數問題轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法，再求函數最值中，又用到了分類討論的思想；屬難題

點評：解決該試題的關鍵是方程根的個數問題轉化為求函數的最值問題，并能利用導數的幾何意義求解切線方程問題。