Question

【題目】設函數f（x）=|x+ |+|x﹣a+1|（a＞0是常數）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（3）＜ ，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=|x+ |+|x﹣a+1|≥| |=| |
∵a＞0，
∴ ，當且僅當a=1時取等號．
∴ ≥1
故得：函數f（x）=| |≥1，即f（x）≥1；
（Ⅱ）當x=3時，可得f（3）=|3+ |+|3﹣a+1| ，
∵a＞0，
可得：3+ +|4﹣a|
|4﹣a|＜ ，
∴ ，且 ，
解得：
故得a的取值范圍是（2， ）．
【解析】（Ⅰ）利用絕對值不等式證明即可．（Ⅱ）將x=3帶入，可得f（3）=|3+ |+|3﹣a+1| ，去絕對值，即可得答案．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．