Question

如圖所示：橢圓的中心為O，F為焦點，A為頂點，準線L交OA的延長線于B，P、Q在橢圓上，且PD⊥L于D，QF⊥OA于F，橢圓的離心率為e，給出下列結論：
①e=

|PF|

|PD|

；②e=

|QF|

|BF|

；③e=

|AO|

|BO|

；④e=

|AF|

|PF|

；⑤e=

|FO|

|AO|

其中正確命題的序號是______（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（0＜a＜b）依次分析5個比值的式子可得：
①、根據橢圓的第二定義，可得

|PF|

|PD|

=e，故符合；
②、根據橢圓的性質，可得|BF|=

a2

c

-c=

b2

c

，|QF|=

b2

a

，則

|QF|

|BF|

=

c

a

=e，故符合；
③、由橢圓的性質，可得|AO|=a，|BO|=

a2

c

，則

|AO|

|BO|

=

c

a

=e，故符合；
④、由橢圓的性質，可得|AF|=a-c，

|PF|

|PD|

=e|AF|≠|PD|，故不符合；
⑤、由橢圓的性質，可得|AO|=a，|FO|=c，

|FO|

|AO|

=

c

a

=e，故符合；
故答案為①②③⑤．