Question

如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，點B恰好經過原點．設頂點P（x，y）的軌跡方程是y=f（x），則對函數y=f（x）有下列判斷：
①函數y=f（x）是偶函數；
②對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1）；
③函數y=f（x）在區間[2，3]上單調遞減；
④

∫

2 0

f(x)dx=

π+1

2

．
其中判斷正確的序號是（　　）

A．①③

B．①④

C．①②④

D．②③④

Answer 1

分析：根據正方形的運動，得到點P的軌跡方程，然后根據函數的圖象和性質分別進行判斷即可．

解答：解：當-2≤x≤-1，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的

1

4

圓，
當-1≤x≤1時，P的軌跡是以B為圓心，半徑為

2

的

1

4

圓，
當1≤x≤2時，P的軌跡是以C為圓心，半徑為1的

1

4

圓，
當3≤x≤4時，P的軌跡是以A為圓心，半徑為1的

1

4

圓，∴函數的周期是4．
因此最終構成圖象如下：
①根據圖象的對稱性可知函數y=f（x）是偶函數，∴①正確．
②由圖象即分析可知函數的周期是4．∴②錯誤．
③函數y=f（x）在區間[2，3]上單調遞增，∴③錯誤．
④根據積分的幾何意義可知

∫

2 0

f(x)dx=

1

8

×π(

2

)2+

1

2

×1×1+

1

4

π×12=

π

4

+

π

4

+

1

2

=

π

2

+

1

2

，
∴④正確．
故答案為：①④，
故選：B．

點評：本題考查的知識點是函數圖象的變化，其中根據已知畫出正方形轉動過程中的一個周期內的圖象，利用數形結合的思想對本題進行分析是解答本題的關鍵．