Question

【題目】已知橢圓 的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為 ，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ．

（1）求橢圓 的方程；
（2）若橢圓 的下頂點(diǎn)為 ，如圖所示，點(diǎn) 為直線 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)橢圓 的右焦點(diǎn) 的直線 垂直于 ，且與 交于 兩點(diǎn)，與 交于點(diǎn) ，四邊形 和 的面積分別為 ．求 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)? 在橢圓 上，所以 ，
又因?yàn)闄E圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為 ，所以 ，
解得 ，所以橢圓 的方程為
（2）解：由（1）可知 ，設(shè) ，
則當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，
直線 的方程為 ，即 ，
由 得 ，
則 ，
，
，
又 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ，
當(dāng) ，直線 ， ， ， ， ，
所以當(dāng) 時(shí)，
【解析】(1)由條件得到關(guān)于a,b,c的方程組求a,b,c得到橢圓方程;
(2)設(shè)出直線AB的反演式方程,代入到橢圓方程中,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,由韋達(dá)定理得到兩根和與積,再將三角形與四邊形的面積之積表示為m的函數(shù)式,用均值不等式求最值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．