Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓： 的離心率，且橢圓上一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)， 為拋物線： 上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于兩點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(1)利用題意求解橢圓的基本量可得橢圓的方程是.

(2)由題意可得面積的函數(shù)解析式： .

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)，滿足題意.即面積的最大值為.

試題解析：

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，則橢圓方程為，即.

設(shè)，則.

當(dāng)時(shí)， 有最大值為. 解得，則.

所以橢圓的方程是.

（Ⅱ）設(shè)曲線： 上的點(diǎn)，因?yàn)?/span>，

所以直線的方程為，即，代入橢圓方程得

，則有.

設(shè)，則， .

所以.

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則. 所以的面積

.

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)，滿足題意.

綜上， 面積的最大值為.