Question

已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≥0時，f（x）=x²-2x．
（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；
（Ⅱ）求函數f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）-m=0有四個不同的實數解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數的表達式，直接代入即可求f（0）及f（f（1））的值；
（Ⅱ）利用偶函數的性質即可，求函數f（x）在（-∞，0）上的解析式；
（Ⅲ）作出函數f（x）的圖象，利用數形結合即可求實數m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵當x≥0時，f（x）=x²-2x．
∴f（0）=0，f（1）=1-2=-1，
∵函數f（x）是偶函數，
∴f（f（1））=f（-1）=f（1）=-1．
（Ⅱ）設x＜0，則-x＞0，
則當x≥0時，f（x）=x²-2x．
∴f（-x）=x²+2x．
∵函數f（x）是偶函數，
∴f（-x）=x²+2x=f（x），
∴f（x）=x²+2x，x＜0．
即函數數f（x）在（-∞，0）上的解析式f（x）=x²+2x；
（Ⅲ）由f（x）-m=0得f（x）=m，
作出函數f（x）的圖象如圖：
要使f（x）-m=0有四個不同的實數解，
則-1＜m≤0，
求實數m的取值范圍是-1＜m≤0．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及方程根的個數的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵，綜合考查函數的性質．