Question

已知{a_n}是公比為q的等比數列，且a_m、a_m+2、a_m+1成等差數列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，試判斷S_m、S_m+2、S_m+1是否成等差數列？并說明理由．

Answer 1

考點：等比數列的性質,等差關系的確定,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出2a₁q^m+1=a₁q^m+a₁q^m-1，由此能求出q的值．
（Ⅱ）若q=1，由a₁≠0，得2S_m+2≠S_m+S_m+1；q=-

1

2

，能推導出2S_m+2=S_m+S_m+1．故當q=1時，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數列；q=-

1

2

時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，得2a_m+2=a_m+1+a_m，
∴2a₁q^m+1=a₁q^m+a₁q^m-1
在等比數列{a_n}中，a₁≠0，q≠0，
∴2q²=q+1，解得q=1或-

1

2

．
（Ⅱ）若q=1，S_m+S_m+1=ma₁+（m+1）a₁=（2m+1）a₁，S_m+2=（m+2）a₁
∵a₁≠0，∴2S_m+2≠S_m+S_m+1
若q=-

1

2

，Sm+2=

1-(- 1 2 )m+2

1-(- 1 2 )

•a1=[

2

3

-

1

6

•(-

1

2

)m]•a1，
S_m+S_m+1=

1-(- 1 2 )m

1-(- 1 2 )

•a1+

1-(- 1 2 )n+1

1-(- 1 2 )

•a1
={

4

3

-

2

3

•[（-

1

2

）^m+（-

1

2

）ⁿ⁺¹}•a₁，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1，
∴2S_m+2=S_m+S_m+1，
∴當q=1時，S_m，S_m+2，S_m+1不成等差數列；
q=-

1

2

時，S_m，S_m+2，S_m+1成等差數列．

點評：本題考查等比數列的公比的求法，考查等差數列的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的靈活運用．