Question

【題目】設函數f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R），其圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且x1＜x2．

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：f′（）＜0（f′（x）為函數f（x）的導函數）；

（3）設點C在函數y＝f（x）的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記t，求（a﹣1）（t﹣1）的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析; （2）見解析（3）2

【解析】

（1）∵f（x）＝ex﹣ax+a，

∴f'（x）＝ex﹣a，

若a≤0，則f'（x）＞0，則函數f（x）是單調增函數，這與題設矛盾．

∴a＞0，令f'（x）＝0，則x＝lna，

當f'（x）＜0時，x＜lna，f（x）是單調減函數，

當f'（x）＞0時，x＞lna，f（x）是單調增函數，

于是當x＝lna時，f（x）取得極小值，

∵函數f（x）＝ex﹣ax+a（a∈R）的圖象與x軸交于兩點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2），

∴f（lna）＝a（2﹣lna）＜0，即a＞e2，

此時，存在1＜lna，f（1）＝e＞0，

存在3lna＞lna，f（3lna）＝a3﹣3alna+a＞a3﹣3a2+a＞0，

又由f（x）在（﹣∞，lna）及（lna，+∞）上的單調性及曲線在R上不間斷，

可知a＞e2為所求取值范圍．

（2）∵，

∴兩式相減得．

記，則，

設g（s）＝2s﹣（es﹣e﹣s），

則g'（s）＝2﹣（es+e﹣s）＜0，

∴g（s）是單調減函數，

則有g（s）＜g（0）＝0，而，

∴．

又f'（x）＝ex﹣a是單調增函數，且

∴．

（3）依題意有，則xi＞1（i＝1，2）．

于是，在等腰三角形ABC中，顯然C＝90°，

∴，即y0＝f（x0）＜0，

由直角三角形斜邊的中線性質，可知，

∴，

即，

∴，

即．

∵x1﹣1≠0，則，

又，

∴，

即，

∴（a﹣1）（t﹣1）＝2．