Question

【題目】（文）已知矩形ABB1A1是圓柱體的軸截面，O、O1分別是下底面圓和上底面圓的圓心，母線長與底面圓的直徑長之比為2：1，且該圓柱體的體積為32π，如圖所示．

（1）求圓柱體的側面積S側的值；
（2）若C1是半圓弧 的中點，點C在半徑OA上，且OC= OA，異面直線CC1與BB1所成的角為θ，求sinθ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓柱的底面圓的半徑為R，依據題意，有AA1=2AB=4R，

∴πR2AA1=32π，

∴R=2．

∴S側=2πRAA1=32π．

（2）解：設D是線段A1O1的中點，聯結D1C，DC，O1C1，則C1O1⊥A1B1，CO∥BB1．

因此，∠C1CD就是異面直線CC1與BB1所成的角，即∠C1CD=θ．

又R=2，∠C1CD=，∠C1O1D=90°，

∴DC1= ，CC1= ．

∴sinθ= =

【解析】（1）利用圓柱體的體積為32π，求出R，即可求圓柱體的側面積S側的值；（2）設D是線段A1O1的中點，聯結D1C，DC，O1C1 ， 則C1O1⊥A1B1 ， CO∥BB1 ， 因此，∠C1CD就是異面直線CC1與BB1所成的角，求出DC1= ，CC1= ，即可求sinθ的值．
【考點精析】本題主要考查了旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）和異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．