Question

已知函數f(x)的定義域D，且f(x)同時滿足以下條件：

①f(x)在D上單調遞增或單調遞減；

②存在區間[a，b]D(其中a＜b，使得f(x)在區間[a，b]的值域是[a，b]，那么我們把函數f(x)(x∈D)叫做閉函數．

(1)求閉函數y＝－x³符合條件②的區間[a，b]；

(2)判斷函數y＝2x－lgx是不是閉函數，若是，請說明理由，并找出區間[a，b]；若不是，請說明理由；

(3)若y＝k＋是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)依題意知－a3＝b，－b3＝a，相加得； 　　－(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a＋b，或a2－ab－b2＝－1(舍) 　　即a＝－b，代入－a3＝b，得b3＝bb＝0或b＝1， 　　因為a＜b，故所求區間為[－1，1](4分) 　　(2)分別令x1＝，顯然x1＜x2＜x3但y1＞y2，y2＜y3，所以函數y＝2x－lgx在定義域上不是單調函數，因此不是閉函數． 　　(學過導數的同學也可用求導的方法證明函數不具有單調性)(8分) 　　(3)y′＝＞0，故函數y＝k＋在區間[－2，＋∞]上單調遞增； 　　故(a≥k)，(12分) 　　故a，b為方程f(x)＝x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的兩個根 　　則(14分)